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这个家伙好懒，除了文章什么都没留下

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历届试题 矩阵翻硬币

时间限制：1.0s 内存限制：256.0MB

问题描述

小明先把硬币摆成了一个 n 行 m 列的矩阵。

随后，小明对每一个硬币分别进行一次 Q 操作。

对第x行第y列的硬币进行 Q 操作的定义：将所有第 ix 行，第 jy 列的硬币进行翻转。

其中i和j为任意使操作可行的正整数，行号和列号都是从1开始。

当小明对所有硬币都进行了一次 Q 操作后，他发现了一个奇迹——所有硬币均为正面朝上。

小明想知道最开始有多少枚硬币是反面朝上的。于是，他向他的好朋友小M寻求帮助。

聪明的小M告诉小明，只需要对所有硬币再进行一次Q操作，即可恢复到最开始的状态。然而小明很懒，不愿意照做。于是小明希望你给出他更好的方法。帮他计算出答案。

输入格式

输入数据包含一行，两个正整数 n m，含义见题目描述。

输出格式

输出一个正整数，表示最开始有多少枚硬币是反面朝上的。

样例输入

2 3

样例输出

1

数据规模和约定

对于10%的数据，n、m <= 10^3；
对于20%的数据，n、m <= 10^7；
对于40%的数据，n、m <= 10^15；
对于10%的数据，n、m <= 10^1000（10的1000次方）。

这个题最先是想着通过模拟翻硬币的那个过程做的，但是提交后数据量非常大只过了10%的数据，然后打印出翻硬币的情况，从中发现了规律。

最终，归结为n开方数*m的开方数即为最终输出的结果。燃鹅，n和m都是非常的数，这就涉及到大数开方的算法。

模拟翻硬币的过程代码：

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import java.util.Scanner;

public class 矩阵翻硬币 {
	
	public static void main(String[] args) {
		
		Scanner sc=new Scanner(System.in);
		int n=sc.nextInt();
		int m=sc.nextInt();
				
		int count=getFan(n+1,m+1);
		System.out.println(count);
	}
	private static int getFan(int n,int m) {
		
		int[][] data=new int[n][m];
		
		for (int i = 1; i < n+1; i++) {
			for (int j = 1; j < m+1; j++) {
				int x=i,y=j;
				for (int k = 1; k*x < n; k++) {
					for (int h = 1; h*y < m ; h++) {
						if(data[k*x][h*y]==0)
							data[k*x][h*y]=1;
						else
							data[k*x][h*y]=0;
					}
				}
			}
		}
		int count=0;
		for (int i = 1; i < n; i++) {
			for (int j = 1; j < m; j++) {
				System.out.print(data[i][j]+",");
				if(data[i][j]==1)
					count++;
			}
			System.out.println();
		}
		return count;
	}
}

找到规律后用n开方*m开方：

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import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;

public class 大数开方2 {

	public static void main(String[] args) {
		
		Scanner sc=new Scanner(System.in);
		
		BigInteger n=sc.nextBigInteger();
		BigInteger m=sc.nextBigInteger();
		
		System.out.println(sqrt(n).multiply(sqrt(m)));

	}

	private static BigInteger sqrt(BigInteger n) {
		BigInteger a;
		BigInteger b;
		
		a=BigInteger.TEN.pow((int)n.toString().length()/2);
		b=n.divide(a);
		
		while(!(a.equals(b)||a.equals(b.add(new BigInteger("-1")))||b.equals(a.add(new BigInteger("-1"))))){
				a=a.add(b).divide(new BigInteger("2"));//a=(a+b)/2
				b=n.divide(a);
			}
		
		if (a.equals(b.add(new BigInteger("-1")))) {
			return a;
		}
		return b;
	}
}

大数开方的算法：

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import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;

public class 大数开方3 {
	public static BigInteger getSqrt(BigInteger n){
		BigInteger a,b;
		BigInteger cs=new BigInteger("2");
		int len=n.toString().length();
		a=BigInteger.TEN.pow(len/2);
		b=n.divide(a);
		int k=1;
		while(k==1){
			if(a.equals(b)||a.equals(BigInteger.ONE.add(b))||b.equals(BigInteger.ONE.add(a))){
				k=0;
			}else{
				a=a.add(b).divide(cs);
				b=n.divide(a);
			}
		}
		return a;
	}
	/**
	 * @param args
	 */
	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		Scanner sc=new Scanner(System.in);
		for (int i = 1; i < 20; i++) {
			BigInteger n=BigInteger.valueOf(i);
			System.out.println(i+"开方为："+getSqrt(n));
		}
		//BigInteger n=sc.nextBigInteger();
		//System.out.println(getSqrt(n));
	}

}

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本文字数： 1.8k 阅读时长 ≈ 2 分钟

题目：

给定一个正整数n，求一共有多少种方式将它写成若干个正整数之和。

例如：
n=4，则输出5.因为4只有如下五种求和方式：
4 = 4
4 = 3 + 1
4 = 2 + 2
4 = 2 + 1 + 1
4 = 1 + 1 + 1 + 1

第一种方法，简单递归。
n的拆分，太复杂，但是如果我们限制了最多拆成几个整数之和，就简单些
例如
拆成一个整数：4 = 4 一种
拆成两个整数：4 = 3 + 1；4 = 2 + 2 两种……

递归（记忆化）

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import java.util.Scanner;

public class 整数拆分1 {

	static int[][] data;
	static int p(int n, int m){

		System.out.println(n+"+"+m);
		if(n<m)return 0;
		
		if(n==1||m==1||n==m) return 1;
		
		if(n>m){ 
			if(data[n][m]==-1)
				data[n][m]=p(n-1,m-1)+p(n-m,m);
			return data[n][m];
		}
		return 0;
	}
	
	public static void main(String[] args) {
		
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		int n = sc.nextInt();
		data=new int[n+1][n+1];
		
		for (int i = 0; i < n+1; i++) {
			for (int j = 0; j < n+1; j++) {
				data[i][j]=-1;
			}
		}
		int result = 0;
		for(int i=1; i<=n; i++){
			result += p(n, i);
		}
		System.out.println(result);
	}
}

动态规划

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import java.util.Scanner;

public class 数的拆分dp {

	static int[][] dp;
	public static void main(String[] args) {
		
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		int n = sc.nextInt();
		dp=new int[n+1][n+1];

		for (int i = 1; i < n+1; i++) {
			dp[i][1]=1;
			dp[i][i]=1;
			for (int j = 1; j < n+1; j++) {
				if(i>j){
					dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-j][j];
				}
			}
			for (int j = 1; j < i+1; j++) {
				dp[i][n]+=dp[i][j];
			}
			
			//打表
			for (int j = 0; j < n+1; j++) {
				System.out.print(dp[i][j]+",");
			}
			System.out.println();
		}
		System.out.println(dp[n][n]/2);
	}
}

用dfs写的

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public class 数的拆分 {
	public static void main(String[] args) {
		int[] data=new int[100];
		f(6,0,data);
	}

	private static void f(int m, int k,int[] data) {
		if(m==0)
		{
			for (int i = 0; i < k; i++) {
				System.out.print(data[i]+" ");
			}
			System.out.println();
		}
		
		for (int i = m; i > 0; i--) {
			if(k>0 && data[k-1]<i)continue;
			data[k]=i;
			f(m-i,k+1,data);
		}
	}
}

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本文字数： 3.8k 阅读时长 ≈ 3 分钟

历届试题 地宫取宝

时间限制：1.0s 内存限制：256.0MB

问题描述

X 国王有一个地宫宝库。是 n x m 个格子的矩阵。每个格子放一件宝贝。每个宝贝贴着价值标签。

地宫的入口在左上角，出口在右下角。

小明被带到地宫的入口，国王要求他只能向右或向下行走。

走过某个格子时，如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大，小明就可以拿起它（当然，也可以不拿）。

当小明走到出口时，如果他手中的宝贝恰好是k件，则这些宝贝就可以送给小明。

请你帮小明算一算，在给定的局面下，他有多少种不同的行动方案能获得这k件宝贝。

输入格式

输入一行3个整数，用空格分开：n m k (1<=n,m<=50, 1<=k<=12)

接下来有 n 行数据，每行有 m 个整数 Ci (0<=Ci<=12)代表这个格子上的宝物的价值

输出格式

要求输出一个整数，表示正好取k个宝贝的行动方案数。该数字可能很大，输出它对 1000000007 取模的结果。

样例输入

2 2 2
1 2
2 1

样例输出

2

样例输入

2 3 2
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样例输出

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类似迷宫问题，然后刚学了。只过了42%的数据

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import java.util.Scanner;

public class Main {

	static int n,m,k;
	static int[][] map;
	static int t=0;
	public static void main(String[] args) {
		
		Scanner sc=new Scanner(System.in);
		n=sc.nextInt();
		m=sc.nextInt();
		k=sc.nextInt();
		map=new int[2+n][2+m];
		
		for (int i = 0; i < 2+n; i++) {
			for (int j = 0; j < 2+m; j++) {
				if(i==0||j==0||i==1+n||j==1+m)//加一道墙
					map[i][j]=-1;
				else
					map[i][j]=sc.nextInt();
			}
		}
		dfs(1,1,-1,0);
		dfs(1,1,map[1][1],1);
		System.out.println(t);
	}
	
	//max当前拿到手中的最大个，count已经拿了多少个
	private static void dfs(int i, int j,int max,int count) {
		
		//System.out.println("("+i+","+j+"),count="+count+",max="+max);
		//到达终点
		if(i==n&&j==m){
			if(count==k){
				t=(t+1)%1000000007;
				//System.out.println("OK!");
				return;
			}			
		}
		
		if(!check(i,j)){
			return;
		}
		
		//向右走
		if(check(i,j+1)){
			dfs(i,j+1,max,count);
			//能不能拿起
			if(map[i][j+1]>max){
				dfs(i,j+1,map[i][j+1],count+1);//拿不拿起
			}
		}
		
		//向下走
		if(check(i+1,j)){
			dfs(i+1,j,max,count);
			if(map[i+1][j]>max){
				dfs(i+1,j,map[i+1][j],count+1);
			}
		}
		
	}

	private static boolean check(int i, int j) {
		if(map[i][j]!=-1)
			return true;
		else
			return false;
	}
}

优化后的：

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 import java.util.Scanner;

/*
 * 修改后的递归
 */
public class Main {

	static int n,m,k;
	static int[][] map;
	static long[][][][] data;
	
	public static void main(String[] args) {		
		Scanner sc=new Scanner(System.in);
		n=sc.nextInt();
		m=sc.nextInt();
		k=sc.nextInt();
		map=new int[n+2][m+2];
		data=new long[52][52][14][14];
		
		for(int i=0;i<52;i++){
			for(int ii=0;ii<52;ii++){
				for(int iii=0;iii<14;iii++){
					for(int iiii=0;iiii<14;iiii++){
						data[i][ii][iii][iiii]=-1;
					}
				}
			}
		}
		
		for (int i = 0; i < n+2; i++) {
			for (int j = 0; j < m+2; j++) {
				if(i==0||j==0||i==n+1||j==m+1)//加一道墙
					map[i][j]=-1;
				else
					map[i][j]=sc.nextInt();
			}
		}
		
		long total = dfs(1,1,-1,k); //从(1,1)开始，还可以拿k个，现在可拿">-1"的值
									//这里写dfs(1,1,0,k)效果是一样的，为防止map中有质量为0的物品，写-1更稳妥
		System.out.println(total%1000000007);
	}
	
	//max当前拿到手中的最大个，count还可以拿多少个
	private static long dfs(int i, int j,int max,int count) {		
		//System.out.println("("+i+","+j+"),count="+count+",max="+max);
		
		//无意义
		if(!check(i, j, count)){
			return 0;
		}
		
		//到达
		if(i==n && j==m && count==0){
			//System.out.println("成功！");
			return data[i][j][max+1][count]=1;
		}		
		
		if(i==n && j==m && count==1 && map[i][j]>max){
			//System.out.println("成功！取最后一个");
			return data[i][j][max+1][count]=1;
		}		
		
		if(data[i][j][max+1][count]!=-1){
			return data[i][j][max+1][count];
		}
		//如果现在的可以拿，则有四种情况：拿起，向右走；拿起，向下走；不拿，向右走；不拿向下走。
		if(map[i][j]>max){
			data[i][j][max+1][count]=dfs(i,j+1,map[i][j],count-1)+dfs(i+1,j,map[i][j],count-1)+dfs(i,j+1,max,count)+dfs(i+1,j,max,count);
			return data[i][j][max+1][count];
		}		
		
		//如果现在的不能拿，则有两种情况：不拿，向右走；不拿向下走。
		if(map[i][j]<=max){
			data[i][j][max+1][count]=dfs(i+1,j,max,count)+dfs(i,j+1,max,count);
			return data[i][j][max+1][count];
		}
		
		return 0;
	}

	private static boolean check(int i, int j, int count) {
		if(map[i][j]!=-1 && count>=0)
			return true;
		else
			return false;
	}
}