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【算法】矩阵翻硬币(大数开方)

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历届试题 矩阵翻硬币

时间限制：1.0s 内存限制：256.0MB

问题描述

小明先把硬币摆成了一个 n 行 m 列的矩阵。

随后，小明对每一个硬币分别进行一次 Q 操作。

对第x行第y列的硬币进行 Q 操作的定义：将所有第 ix 行，第 jy 列的硬币进行翻转。

其中i和j为任意使操作可行的正整数，行号和列号都是从1开始。

当小明对所有硬币都进行了一次 Q 操作后，他发现了一个奇迹——所有硬币均为正面朝上。

小明想知道最开始有多少枚硬币是反面朝上的。于是，他向他的好朋友小M寻求帮助。

聪明的小M告诉小明，只需要对所有硬币再进行一次Q操作，即可恢复到最开始的状态。然而小明很懒，不愿意照做。于是小明希望你给出他更好的方法。帮他计算出答案。

输入格式

输入数据包含一行，两个正整数 n m，含义见题目描述。

输出格式

输出一个正整数，表示最开始有多少枚硬币是反面朝上的。

样例输入

2 3

样例输出

1

数据规模和约定

对于10%的数据，n、m <= 10^3；
对于20%的数据，n、m <= 10^7；
对于40%的数据，n、m <= 10^15；
对于10%的数据，n、m <= 10^1000（10的1000次方）。

这个题最先是想着通过模拟翻硬币的那个过程做的，但是提交后数据量非常大只过了10%的数据，然后打印出翻硬币的情况，从中发现了规律。

最终，归结为n开方数*m的开方数即为最终输出的结果。燃鹅，n和m都是非常的数，这就涉及到大数开方的算法。

模拟翻硬币的过程代码：

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import java.util.Scanner;

public class 矩阵翻硬币 {
	
	public static void main(String[] args) {
		
		Scanner sc=new Scanner(System.in);
		int n=sc.nextInt();
		int m=sc.nextInt();
				
		int count=getFan(n+1,m+1);
		System.out.println(count);
	}
	private static int getFan(int n,int m) {
		
		int[][] data=new int[n][m];
		
		for (int i = 1; i < n+1; i++) {
			for (int j = 1; j < m+1; j++) {
				int x=i,y=j;
				for (int k = 1; k*x < n; k++) {
					for (int h = 1; h*y < m ; h++) {
						if(data[k*x][h*y]==0)
							data[k*x][h*y]=1;
						else
							data[k*x][h*y]=0;
					}
				}
			}
		}
		int count=0;
		for (int i = 1; i < n; i++) {
			for (int j = 1; j < m; j++) {
				System.out.print(data[i][j]+",");
				if(data[i][j]==1)
					count++;
			}
			System.out.println();
		}
		return count;
	}
}

找到规律后用n开方*m开方：

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import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;

public class 大数开方2 {

	public static void main(String[] args) {
		
		Scanner sc=new Scanner(System.in);
		
		BigInteger n=sc.nextBigInteger();
		BigInteger m=sc.nextBigInteger();
		
		System.out.println(sqrt(n).multiply(sqrt(m)));

	}

	private static BigInteger sqrt(BigInteger n) {
		BigInteger a;
		BigInteger b;
		
		a=BigInteger.TEN.pow((int)n.toString().length()/2);
		b=n.divide(a);
		
		while(!(a.equals(b)||a.equals(b.add(new BigInteger("-1")))||b.equals(a.add(new BigInteger("-1"))))){
				a=a.add(b).divide(new BigInteger("2"));//a=(a+b)/2
				b=n.divide(a);
			}
		
		if (a.equals(b.add(new BigInteger("-1")))) {
			return a;
		}
		return b;
	}
}

大数开方的算法：

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import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;

public class 大数开方3 {
	public static BigInteger getSqrt(BigInteger n){
		BigInteger a,b;
		BigInteger cs=new BigInteger("2");
		int len=n.toString().length();
		a=BigInteger.TEN.pow(len/2);
		b=n.divide(a);
		int k=1;
		while(k==1){
			if(a.equals(b)||a.equals(BigInteger.ONE.add(b))||b.equals(BigInteger.ONE.add(a))){
				k=0;
			}else{
				a=a.add(b).divide(cs);
				b=n.divide(a);
			}
		}
		return a;
	}
	/**
	 * @param args
	 */
	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		Scanner sc=new Scanner(System.in);
		for (int i = 1; i < 20; i++) {
			BigInteger n=BigInteger.valueOf(i);
			System.out.println(i+"开方为："+getSqrt(n));
		}
		//BigInteger n=sc.nextBigInteger();
		//System.out.println(getSqrt(n));
	}

}